Дано уравнение прямой: 2x – y – 3 = 0 и уравнение эллипса: x²/16 + y²/9 = 1. Найдем их взаимное расположение на плоскости.
1. Преобразуем уравнение прямой к форме y = mx + c, где m – угловой коэффициент, c – свободный член:
2x – y – 3 = 0
y = 2x – 3
2. Посмотрим, как описывается эллипс:
x²/16 + y²/9 = 1
Заметим, что квадратный корень из 16 равен 4, а квадратный корень из 9 равен 3.
То есть, уравнение эллипса можно записать в виде:
x²/4² + y²/3² = 1
(x/4)² + (y/3)² = 1
Таким образом, центр эллипса находится в начале координат (0,0) и полуоси равны 4 и 3 соответственно.
3. Выразим y из уравнения прямой:
y = 2x – 3
4. Подставим выражение для y в уравнение эллипса:
(x/4)² + ((2x – 3)/3)² = 1
5. Раскроем скобки и приведем уравнение к каноническому виду:
(x²/16) + ((2x – 3)²/9) = 1
(x²/16) + (4x² – 12x + 9)/9 = 1
(9x² + 16x² – 48x + 36)/144 = 1
25x² – 48x + 36 = 144
6. Приведем уравнение к квадратному виду:
25x² – 48x + 36 – 144 = 0
25x² – 48x – 108 = 0
7. Решим полученное квадратное уравнение:
Найдем дискриминант: D = (-48)² – 4 * 25 * (-108) = 2304 + 10800 = 13104
D > 0, следовательно, уравнение имеет два корня.
8. Найдем корни квадратного уравнения с помощью формулы дискриминанта:
x₁ = (-(-48) + √13104) / (2 * 25) ≈ 4.303
x₂ = (-(-48) – √13104) / (2 * 25) ≈ 1.327
9. Теперь найдем соответствующие значения y, подставив найденные x в уравнение прямой:
y₁ = 2 * 4.303 – 3 ≈ 5.606
y₂ = 2 * 1.327 – 3 ≈ -0.346
10. Итак, полученные координаты точек пересечения прямой и эллипса: (4.303, 5.606) и (1.327, -0.346).
Таким образом, прямая и эллипс пересекаются в двух точках на плоскости.