Определите на плоскости две топологии такие, чтобы в одном топологическом пространстье пара пересекаюшихся прямых была связной, в другой – не связной.

Для решения данной задачи можно рассмотреть две различные топологии на плоскости.

1. Топология евклидова пространства:
Рассмотрим плоскость в евклидовой метрике. В этой топологии любые две прямые будут связными, так как между любыми двумя точками можно провести отрезок прямой линии.

2. Топология разрывной прямой:
Теперь представим плоскость с разрывной прямой. Разрывная прямая состоит из двух непересекающихся половин. В этом случае, если две прямые пересекаются на разных половинах разрывной прямой, они не связны. Например, пусть одна прямая лежит в верхней половине разрывной прямой, а другая – в нижней. Тогда между этими двуми прямыми нет пути в топологии разрывной прямой.

Таким образом, в евклидовой топологии пара пересекающихся прямых всегда будет связной, а в топологии разрывной прямой – не связной, если они пересекаются на разных половинах разрывной прямой.