Для начала найдем длину большей диагонали основания прямой призмы.
Так как основание призмы является параллелограммом, то можно воспользоваться теоремой косинусов для треугольника.
Для этого рассмотрим треугольник с двумя сторонами 7 см и 10 см, и углом между ними, равным 120 градусам.
Применяя теорему косинусов, получаем:
с^2 = a^2 + b^2 – 2ab*cos(C),
где c – искомая диагональ, a и b – стороны треугольника, C – угол между сторонами
Подставим известные значения:
c^2 = 7^2 + 10^2 – 2*7*10*cos(120°),
c^2 = 49 + 100 – 140*cos(120°).
Теперь рассчитаем значение cos(120°). Угол 120 градусов является тупым. Так как значение cosinus отрицательно для тупого угла, то cos(120°) = -cos(60°).
Известно, что cos(60°) = 1/2.
Таким образом, cos(120°) = -1/2.
Подставим это значение в наше уравнение:
c^2 = 49 + 100 – 140*(-1/2),
c^2 = 49 + 100 + 70,
c^2 = 219.
Теперь найдем значение большей диагонали c путем извлечения квадратного корня:
c = √219.
Далее, чтобы найти тангенс угла между большей диагональю и плоскостью основания, нам необходимо знать смежную сторону этого угла и противолежащую сторону. Эти стороны являются сторонами основания призмы.
c – это противолежащая сторона, а высота (h) призмы – смежная сторона.
Известно, что тангенс угла равен отношению противолежащей стороны к смежной:
tg(θ) = c/h.
Подставим известные значения:
tg(θ) = (√219)/4.
Ответ: Большая диагональ призмы равна √219 см. Тангенс угла между большей диагональю и плоскостью основания равен (√219)/4.