а) Пусть сторона квадрата, которым является основание, равна a. Тогда диагональ квадрата (или длина ребра параллелепипеда) равна a*√2. Так как мы знаем, что диагональ параллелепипеда равна 2√6 см, то получаем уравнение: a*√2 = 2√6.
Разделим обе части уравнения на √2 и получим a = 2√3. Теперь зная значение a, можем найти остальные измерения. По условию, они относятся как 1 : 1 : 2, значит длина b = 2√3, а высота c = 4√3.
Итак, измерения параллелепипеда равны: a = 2√3 см, b = 2√3 см, c = 4√3 см.
б) Чтобы найти синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания, можно использовать геометрическое свойство скалярного произведения векторов.
Сначала найдем вектор диагонали параллелепипеда. Пусть A, B и C — вершины параллелепипеда, а O — середина диагонали AB. Тогда OA = OB = OC = (1/2)*AB.
OA = (1/2)*a*i + (1/2)*b*j + (1/2)*c*k,
AB = a*i + b*j + c*k.
Посчитаем скалярное произведение векторов OA и AB: OA * AB = (1/2)*a*a + (1/2)*b*b + (1/2)*c*c = (1/2)*(a^2 + b^2 + c^2).
Теперь найдем модули векторов OA и AB: |OA| = √[(1/2)*a^2 + (1/2)*b^2 + (1/2)*c^2] = √[(1/4)*(a^2 + b^2 + c^2)], |AB| = √(a^2 + b^2 + c^2).
Тогда cos угла между векторами равен cos α = (OA * AB) / (|OA| * |AB|) = [(1/2)*(a^2 + b^2 + c^2)] / √[(1/4)*(a^2 + b^2 + c^2)] * √(a^2 + b^2 + c^2) = √2 / 2.
Так как угол α — острый угол, sin α = √(1 – cos^2 α) = √(1 – (√2 / 2)^2) = √(1 – 1/2) = √(1/2) = 1 / √2 = √2 / 2.
Ответ: синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания равен √2 / 2.