Для решения задачи, сначала найдем координаты векторов AB и AC, а затем найдем длины базисных векторов и угол между ними.
1. Найдем координаты вектора AB:
Пусть A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) – координаты точек A и B соответственно.
Тогда координаты вектора AB будут равны (x₂ – x₁, y₂ – y₁):
AB = (5 – 1, 3 – 1) = (4, 2)
2. Найдем координаты вектора AC:
Пусть A(x₁, y₁) и C(x₃, y₃) – координаты точек A и C соответственно.
Тогда координаты вектора AC будут равны (x₃ – x₁, y₃ – y₁):
AC = (3 – 1, 5 – 1) = (2, 4)
3. Найдем длины базисных векторов ₁ и ₂:
Длина вектора ₁ будет равна длине вектора AB, а длина вектора ₂ – длине вектора AC:
| ₁| = |AB| = √(4² + 2²) = √20 = 2√5
| ₂| = |AC| = √(2² + 4²) = √20 = 2√5
4. Найдем угол между базисными векторами ₁ и ₂:
Для этого воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:
₁ · ₂ = | ₁| * | ₂| * cos(θ), где θ – угол между векторами.
Расположим векторы AB и AC в виде столбцов матрицы:
AB = [4, 2] и AC = [2, 4].
Тогда скалярное произведение ₁ · ₂ будет равно:
₁ · ₂ = AB·AC = 4*2 + 2*4 = 16
Так как | ₁| = 2√5 и | ₂| = 2√5, можно переписать формулу скалярного произведения:
16 = 2√5 * 2√5 * cos(θ),
16 = 20 * cos(θ),
cos(θ) = 16/20 = 4/5.
Найдем значение угла θ, используя обратную функцию косинуса:
θ = arccos(4/5) ≈ 0.6435 радиан или ≈ 36.87 градусов.
Таким образом, длины базисных векторов ₁ и ₂ равны 2√5, а угол между ними равен около 36.87 градусов.