Для решения задачи сначала найдем длины векторов AB, AC и BC.
AB = √((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2) = √((4 – 2)^2 + (3 – 1)^2) = √10
AC = √((x3 – x1)^2 + (y3 – y1)^2) = √((3 – 2)^2 + (5 – 1)^2) = 4
BC = √((x3 – x2)^2 + (y3 – y2)^2) = √((3 – 4)^2 + (5 – 3)^2) = √13
Теперь найдем разности координат для этих векторов.
AB_x = x2 – x1 = 4 – 2 = 2
AB_y = y2 – y1 = 3 – 1 = 2
AC_x = x3 – x1 = 3 – 2 = 1
AC_y = y3 – y1 = 5 – 1 = 4
BC_x = x3 – x2 = 3 – 4 = -1
BC_y = y3 – y2 = 5 – 3 = 2
Теперь мы можем определить базисные векторы ̅1 , ̅2.
Они равны половине соответствующих длинных разностей координат, нормализованных к длине векторов AB, AC и BC:
̅1 = (AB_x + AC_x) / 2AB = (2 + 1) / 2√10 = 3 / 2√10
̅2 = (AB_y + BC_y) / 2BC = (2 + 2) / 2√13 = 4 / 2√13 = 2 / √13
Для нахождения угла между векторами ̅1 и ̅2 можно воспользоваться формулой скалярного произведения векторов:
cos(θ) = ( ̅1 · ̅2) / (‖ ̅1‖ × ‖ ̅2‖)
‖ ̅1‖ = √((e1_x)^2 + (e1_y)^2) = √((3 / 2√10)^2 + 0^2) = √(9 / 40) = 3 / 2√10
‖ ̅2‖ = √((e2_x)^2 + (e2_y)^2) = √((2 / √13)^2 + 0^2) = √(4 / 13) = 2 / √13
Теперь можем вычислить cos(θ):
cos(θ) = ( ̅1 · ̅2) / (‖ ̅1‖ × ‖ ̅2‖) = ((3 / 2√10) * (2 / √13)) / ((3 / 2√10) * (2 / √13)) = 1
Угол θ между векторами ̅1 и ̅2 равен 0 градусов.
Таким образом, длины базисных векторов ̅1 и ̅2 равны 3 / 2√10 и 2 / √13 соответственно, а угол между ними равен 0 градусов.