Отрезок CD перпендикулярен к плоскости ABC. Найдите угол между плоскостями ABC и ABD, если CD=3 см, AC=6 см, угол ACB=90 градусов и угол BAC=60 градусов.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством перпендикулярности и свойством треугольника.

1. Найдем длину отрезка AD с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC:
AB² = AC² + BC²
AB² = 6² + (3/2)²
AB² = 36 + 9/4
AB² = 45/4
AB = √(45/4)
AB = (3√5)/2 см

2. Найдем длину отрезка BD с помощью теоремы косинусов в треугольнике ABC:
BC² = AB² + AC² – 2AB * AC * cos(BAC)
BC² = (3√5/2)² + 6² – 2 * (3√5/2) * 6 * cos(60°)
BC² = 45/4 + 36 – 18√5 * cos(60°)
BC² = 9/4 + 36 – 18√5 * 1/2
BC² = 45/4 + 36 – 9√5

BD² = BC² + CD²
BD² = 45/4 + 36 – 9√5 + 3²
BD² = 45/4 + 36 – 9√5 + 9
BD² = 90/4 – 9√5 + 36
BD² = 90/4 – 9√5 + 144/4
BD² = 234/4 – 9√5
BD² = 117/2 – 9√5
BD = √(117/2 – 9√5)

3. Найдем угол между плоскостями ABC и ABD, используя формулу скалярного произведения:
cos(θ) = (AB * BD) / (|AB| * |BD|)
cos(θ) = ((3√5)/2 * √(117/2 – 9√5)) / ((3√5)/2 * √(45/4) * √(117/2 – 9√5))
cos(θ) = √(117/2 – 9√5) / (√(45/4) * √(117/2 – 9√5))
cos(θ) = √(117/2 – 9√5) / (√45/2 * √(117/2 – 9√5))
cos(θ) = (1/2) * (√(117/2 – 9√5) / (√(39/2) * √(117/2 – 9√5)))
cos(θ) = 1 / (√(39/2) * 2)
cos(θ) = 1 / (√78/2)
cos(θ) = 2 / √78
cos(θ) = 2√78 / 78

Угол между плоскостями ABC и ABD равен arccos(2√78 / 78). Мы можем вычислить его, используя калькулятор или таблицу значений тригонометрических функций.

Таким образом, угол между плоскостями ABC и ABD равен arccos(2√78 / 78).