Рассмотрим заданную бедренную трапецию ABCD, где АВ || CD и CN – ее высота. Пусть точка H – точка пересечения отрезка ВН с диагональю AC. Также пусть AH = x, а HC = y.
Так как отрезок ВН делит диагональ AC на отрезки длиной 3 и 5, то AH + HC = 3 + 5 = 8. Также можно заметить, что треугольники ANC и BHC подобны по двум углам, так как углы при вершинах А и B прямые и углы ACN и BCH равны (как вертикальные углы). Таким образом:
АН/ВН = НС/НВ = АС/ВС
Так как NV = NH – HC = NH – y, ВС = AH + HC = x + y, АС = AH + НС = x + 3. Подставим эти значения в пропорцию:
АН/(НН – у) = (x + 3)/(x + у).
Так как АН = 8 – ВН = 8 – (НН – y) = 8 – НН + y, получаем:
(8 – НН + y)/(НН – y) = (x + 3)/(x + y).
Перекрестно умножим:
(8 – НН + y)(x + y) = (НН – y)(x + 3).
Раскроем скобки:
8х + 8у – ННх – ННу + xy + y^2 = ННх + 3х – ННу – 3у.
Упростим:
8х + 8у + xy + y^2 = 3х – 3у.
Сгруппируем переменные:
5х + 11у + y^2 = 0.
Отсюда можно найти зависимость между значениями х и у, внося их вначале как константы в процессе решения задачи и затем переписывая проценты на язык чисел, и находя вот такое соотношение между ними.
Следовательно, отношение оснований трапеции ABBCD равно отношению значений х и у (отношению “длины” левой и правой части от полученного уравнения).
Таким образом, отношение оснований трапеции равно х/у