Для решения данной задачи воспользуемся свойствами середин отрезков и медиан треугольника.
Пусть дан треугольник ABC, где M и N – середины сторон AB и AC соответственно, а O – точка пересечения медиан AM и BN.
Так как M и N – середины сторон AB и AC, то AM и BN являются их медианами. Следовательно, точка O – точка пересечения медиан, делит их в отношении 2:1.
Из свойств медиан треугольника известно, что сумма двух медиан больше третьей:
AB + AC > BC
2AM + 2BN > 2MO + 2NO
AM + BN > MO + NO
Так как MO = NO (отрезок перпендикулярен медиане), то:
AM + BN > 2MO
Так как MO = NO, то:
AM + BN > MO + NO
Так как MO = NO и AM + BN = BC (сумма двух смежных сторон треугольника), то:
BC > MO + NO
Значит, треугольник ABC удовлетворяет неравенству треугольника.
То есть, из предыдущего неравенства следует, что
AM + BN > MO + NO,
BC > MO + NO.
А значит, BC > AM + BN.
Таким образом, получаем, что сторона BC больше суммы сторон AB и AC.
Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным, так как сторона BC равна сумме сторон AB и AC.
Таким образом, доказано, что треугольник соединяющий середины двух сторон треугольника и перпендикулярный медиане к третьей стороне является равнобедренным.