Пусть катеты прямоугольного треугольника равны x и y, соответственно.
Мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин его катетов. Поэтому у нас есть уравнение:
(1/2)*x*y = 500
Также, нам известно, что отношение длин катетов равно 5/8, поэтому мы можем записать другое уравнение:
x/y = 5/8
Мы можем решить эту систему уравнений, используя метод подстановки или метод избавления от переменных.
Давайте воспользуемся методом подстановки. Решим второе уравнение относительно x:
x = (5/8)*y
Теперь подставим это выражение для x в первое уравнение:
(1/2)*((5/8)*y)*y = 500
Упростим это уравнение:
(5/16)*y^2 = 500
Поделим обе стороны на (5/16):
y^2 = 500*(16/5)
y^2 = 1600
Возьмем квадратный корень от обеих сторон:
y = √1600
y = 40
Теперь, используя второе уравнение, найдем x:
x = (5/8)*y
x = (5/8)*40
x = 25
Таким образом, длина первого катета равна 25 см, а длина второго катета равна 40 см.