Для решения этой задачи используем теорему Пифагора и свойства равностороннего треугольника.
1. Обозначим радиус сферы как R.
2. Рассмотрим треугольник ABC. Из условия задачи известно, что его сторона AB равна 6 см, а BC – радиус сферы R.
3. Используем свойство равностороннего треугольника: все его стороны равны. Таким образом, сторона AC также равна 6 см.
4. Расстояние от центра сферы до плоскости ABC является высотой равностороннего треугольника. Согласно свойствам равностороннего треугольника, высота делит его на два равнобедренных треугольника. Поэтому, расстояние от центра сферы до плоскости ABC составляет половину высоты треугольника AC и равно (6 / 2) = 3 см.
5. Имеем прямоугольный треугольник ABC, в котором известны катеты: BC = R и AC = 3 см. Можем использовать теорему Пифагора для нахождения гипотенузы треугольника: AB^2 = BC^2 + AC^2.
6. Подставляем известные значения: (6 см)^2 = R^2 + (3 см)^2.
7. Выполняем вычисления: 36 см^2 = R^2 + 9 см^2.
8. Вычитаем 9 см^2 из обеих частей уравнения: 27 см^2 = R^2.
9. Корень из 27 см^2 равен 3√3 см.
10. Таким образом, радиус сферы R равен 3√3 см.
11. Площадь сферы вычисляется по формуле S = 4πR^2.
12. Подставляем значение радиуса: S = 4π(3√3 см)^2.
13. Упрощаем выражение: S = 4π(27 см^2).
14. Выполняем вычисления: S = 108π см^2.
15. Ответ: площадь сферы равна 108π см^2.