Для решения этой задачи воспользуемся свойством, что две прямые в пространстве лежат в одной плоскости, если они пересекаются или параллельны.
Пусть прямая ВС не лежит в плоскости альфа. Тогда она пересекается с ней в какой-то точке М.
Так как точка М лежит на прямой ВС, то ее можно представить в виде М = В + t(С – В), где t – некоторый параметр.
Также точка М должна лежать в плоскости альфа, а значит, ее можно представить как сумму векторов АО и АМ, причем эта сумма не должна зависеть от выбора точки М.
Таким образом, АО + АМ = АО + ВМ = АО + В + t(С – В)
По определению параллелограмма, вектор С – В равен вектору А – Д.
Тогда АО + В + t(С – В) = АО + В + t(А – Д) = (АО + В) + t(А – Д)
Так как эта сумма не должна зависеть от выбора точки М, то для любых t эта сумма должна быть равной.
Заметим, что при t = 0 получим сумму равную (АО + В).
В то же время, при t = 1 получим сумму равную (АО + В + А – Д) = (АО + В + А) – Д.
Таким образом, (АО + В) и (АО + В + А) – Д – это один и тот же вектор и, следовательно, точки А и Д лежат в плоскости альфа.
Таким образом, мы получили противоречие – точка Д должна лежать в плоскости альфа, но предположение о том, что ВС не лежит в плоскости альфа, приводит к тому, что точка Д не лежит в плоскости альфа.
Следовательно, наше предположение неверно и прямая ВС должна лежать в плоскости альфа.