Для решения задачи нам понадобятся два шага.
Шаг 1: Найти нормализованный вектор направления прямой £. Для этого мы возьмем коэффициенты при переменных x и y в уравнении прямой £ и создадим вектор направления, содержащий эти коэффициенты.
a) Для первого уравнения L: 3x – 5y + 4 = 0 коэффициент при x равен 3, а коэффициент при y равен -5. Создадим вектор направления D1 = [3, -5].
b) Для второго уравнения L: x – 2y + 1 = 0 коэффициент при x равен 1, а коэффициент при y равен -2. Создадим вектор направления D2 = [1, -2].
Шаг 2: Найти вектор, перпендикулярный вектору направления и имеющий длину L. Мы можем найти такой вектор, умножив вектор направления на матрицу поворота на 90 градусов по часовой стрелке и нормируя его на длину L.
a) Для вектора направления D1 = [3, -5] мы можем создать матрицу поворота R1 следующим образом:
R1 = [[0, -1],
[1, 0]]
Затем умножим вектор направления D1 на матрицу поворота R1:
D1_perpendicular = R1 * D1 = [[0, -1], [1, 0]] * [3, -5] = [(-5), (-3)]
Нормализуем полученный вектор, разделив его на его длину:
L1 = ||D1_perpendicular|| = sqrt((-5)^2 + (-3)^2) = sqrt(34)
D1_perpendicular_normalized = D1_perpendicular / L1 = [(-5) / sqrt(34), (-3) / sqrt(34)].
Таким образом, мы получили вектор, перпендикулярный прямой £ и имеющий длину L = 3*sqrt(6): D1_perpendicular_normalized = [(-5) / sqrt(34), (-3) / sqrt(34)].
b) Для вектора направления D2 = [1, -2] мы можем создать матрицу поворота R2 следующим образом:
R2 = [[0, -1],
[1, 0]]
Затем умножим вектор направления D2 на матрицу поворота R2:
D2_perpendicular = R2 * D2 = [[0, -1], [1, 0]] * [1, -2] = [(-2), (-1)]
Нормализуем полученный вектор, разделив его на его длину:
L2 = ||D2_perpendicular|| = sqrt((-2)^2 + (-1)^2) = sqrt(5)
D2_perpendicular_normalized = D2_perpendicular / L2 = [(-2) / sqrt(5), (-1) / sqrt(5)].
Таким образом, мы получили вектор, перпендикулярный прямой £ и имеющий длину L = 2*sqrt(5): D2_perpendicular_normalized = [(-2) / sqrt(5), (-1) / sqrt(5)].
Итак, векторы, перпендикулярные прямым £ и имеющие длины L, равны:
Для первого уравнения L: 3x – 5y + 4 = 0: D1_perpendicular_normalized = [(-5) / sqrt(34), (-3) / sqrt(34)], где L = 3*sqrt(6).
Для второго уравнения L: x – 2y + 1 = 0: D2_perpendicular_normalized = [(-2) / sqrt(5), (-1) / sqrt(5)], где L = 2*sqrt(5).