Чтобы найти угол между двумя векторами, мы можем воспользоваться формулой:
cos(θ) = (a * b) / (||a|| * ||b||),
где a и b – векторы, (a * b) – их скалярное произведение, а ||a|| и ||b|| – их длины.
В нашем случае, имеем:
a = {x; -4; 7},
b = {-2; x; -1}.
Найдем сначала длины векторов a и b:
||a|| = sqrt(x^2 + (-4)^2 + 7^2),
||b|| = sqrt((-2)^2 + x^2 + (-1)^2).
Теперь найдем скалярное произведение векторов a и b:
a * b = x*(-2) + (-4)*x + 7*(-1).
Подставим все значения в формулу для cos(θ):
cos(θ) = (x*(-2) + (-4)*x + 7*(-1)) / ( sqrt(x^2 + (-4)^2 + 7^2) * sqrt((-2)^2 + x^2 + (-1)^2) ).
Теперь решим неравенство для острого угла. Заметим, что cos(θ) является непрерывной функцией и принимает значения от -1 до 1.
Для острого угла, cos(θ) должен быть положительным, то есть:
cos(θ) > 0,
(x*(-2) + (-4)*x + 7*(-1)) / ( sqrt(x^2 + (-4)^2 + 7^2) * sqrt((-2)^2 + x^2 + (-1)^2) ) > 0.
Теперь нужно решить неравенство относительно x. Рассмотрим случаи, когда знак в знаменателе меняется:
1) когда sqrt(x^2 + (-4)^2 + 7^2) ≠ 0 и sqrt((-2)^2 + x^2 + (-1)^2) ≠ 0. Тогда можно умножить неравенство на знаменатели и продолжить решение;
2) когда sqrt(x^2 + (-4)^2 + 7^2) = 0. Это возможно только при x = 0. В данном случае неравенство будет нестрогим, так как cos(0) = 1;
3) когда sqrt((-2)^2 + x^2 + (-1)^2) = 0. Это невозможно, так как выражение под знаком радикала всегда положительно.
Поэтому нужно решить неравенство только в случае 1), умножив его на знаменатели:
(x*(-2) + (-4)*x + 7*(-1)) * ( sqrt(x^2 + (-4)^2 + 7^2) * sqrt((-2)^2 + x^2 + (-1)^2) ) > 0.
Продолжи решение и найди интервалы, в которых неравенство выполняется по условию.