Обозначим векторы: = , = , = .
Так как 1 = 15, то вектор 1 = −15 .
Также из условия = 8, получаем, что вектор 1 = −15 + 8 .
Пусть — точка пересечения прямой 1 с плоскостью грани 1 1 1 1. Тогда вектор 1 будет лежать в плоскости грани, и векторно произведение 1 и 1 будет равно нулю:
(−15 × 1) = (−15 + 8 ) × 1.
(−15 × 1) = (−15 + 8 ) × (15 − 1).
(-15 × 1) = 120 × .
Так как и — взаимно перпендикулярные векторы, их векторное произведение равно | || |, где | | и | | — длины векторов и соответственно.
Отсюда получаем уравнение: -15 = 120| || |.
Тогда | | = -1/8.
Так как 1 лежит в плоскости грани, то косинус угла между вектором 1 и плоскостью грани будет равен косинусу угла между вектором 1 и нормалью данной плоскости.
Нормаль плоскости грани 1 1 1 1 будет равна векторному произведению векторов 1 1 и 1 1.
| 1 1 × 1 1| = | × (− − )| = | | | + | sin(90°) = | | √(| |^2 + | |^2) (1),
где sin(90°) = 1, так как угол между векторами и − − равен 90°.
Теперь найдем косинус угла между векторами 1 и 1 × (−15 + 8 ).
cos(θ) = 1 ∙ ( 1 × (−15 + 8 ))/ | 1| | 1 × (−15 + 8 )|.
Так как вектора 1 и −15 + 8 коллинеарны, 1 × (−15 + 8 ) = 1 (2), где — некоторая константа.
Подставляя (1) и (2) в косинус, получаем: cos(θ) = 1/ | 1| | 1|
Сократив 1 и | 1|, получаем cos(θ) = 1/| 1|
Из уравнения (2) можно выразить | 1| = | 1 × (−15 + 8 )|/√ 225| || |
Подставляя в выражение для cos(θ), получаем cos(θ) = √ 225| || |/| 1 × (−15 + 8 )|.
В итоге получаем, что косинус угла между прямой 1 и плоскостью грани 1 1 1 1 равен √ 225| || |/| 1 × (−15 + 8 )|.