Поскольку AD – перпендикуляр к BM и делит её пополам, то точка D – середина стороны BM, то есть BM = 2 * BD.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике BDM:
(DM)^2 + (BD)^2 = (BM)^2.
Поскольку треугольник ABC прямоугольный (угол B равен 90 градусам), то BM – медиана к гипотенузе AC, и по теореме о медиане:
(BM)^2 = (2 * AC)^2 / 4 = (AC)^2 / 4.
Тогда уравнение в треугольнике BDM примет вид:
(DM)^2 + (BD)^2 = (AC)^2 / 4.
Так как BD – половина стороны AB, и AB = 4, то BD = 4 / 2 = 2.
Подставляя значения в уравнение, получаем:
(DM)^2 + 2^2 = (AC)^2 / 4.
(DM)^2 + 4 = (AC)^2 / 4.
Так как DM – медиана треугольника BAC, то BM = 2 * DM.
Получаем уравнение:
(2 * DM)^2 + 4 = (AC)^2 / 4.
4 * (DM)^2 + 4 = (AC)^2 / 4.
4 * (DM)^2 = (AC)^2 / 4 – 4.
4 * (DM)^2 = (AC)^2 / 4 – 16 / 4.
4 * (DM)^2 = (AC)^2 /4 – 4.
4 * (DM)^2 = ((AC)^2 – 16) / 4.
(DM)^2 = ((AC)^2 – 16) / 16.
Поскольку треугольник BDM – прямоугольный, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
(DM)^2 + BD^2 = BM^2.
(DM)^2 + 2^2 = (2 * DM)^2.
(DM)^2 + 4 = 4 * (DM)^2.
4 = 4 * (DM)^2 – (DM)^2.
4 = 3 * (DM)^2.
(DM)^2 = 4 / 3.
((AC)^2 – 16) / 16 = 4 / 3.
(AC)^2 – 16 = 64 / 3.
(AC)^2 = 64 / 3 + 16.
(AC)^2 = 64 / 3 + 48 / 3.
(AC)^2 = 112 / 3.
AC = sqrt(112 / 3).
Ответ: AC = sqrt(112 / 3).