Для начала нарисуем треугольник ABC, где угол C равен 90 градусам. Продолжим сторону AB за точку B так, чтобы BC была равна AC.
Затем построим высоту CD, которая будет проходить через вершину C и перпендикулярна к стороне AB. Заметим, что эта высота является одновременно и высотой треугольника ABC и медианой к его гипотенузе.
Далее построим прямую CK, которая будет проходить через вершину C и перпендикулярна к стороне AC. Заметим, что дано условие, что прямая CK перпендикулярна катету AC.
Предположим, что прямая BC не перпендикулярна CK, то есть они не пересекаются под прямым углом. Тогда должна существовать точка K1 на прямой CK, такая что CK1 не перпендикулярна BC.
Теперь рассмотрим треугольник ACK1. В нем угол K1AC равен 90 градусам (так как CK1 перпендикулярна AC) и угол C равен 90 градусам, так как ABC – прямоугольный треугольник. Таким образом, углы K1AC и C равны между собой и треугольник ACK1 будет прямоугольным.
Но это противоречит условию, так как треугольник ACK был прямоугольным изначально и по условию задачи. Значит, наше предположение было неверным, и прямая BC действительно перпендикулярна к прямой CK.