Прямая параллельная стороне AC треугольника ABC пересекает стороны AB и DC в точках M и N соответсвенно. Известно что AC=15 MN=3. Найдите отношение площадей треугольников S треугольника MBN : S треугольника ABC

Площадь треугольника можно вычислить по формуле S = (1/2) * a * h, где a – длина стороны треугольника, h – высота, опущенная на эту сторону.

Чтобы найти отношение площадей треугольников S треугольника MBN и S треугольника ABC, нам нужно найти соответствующие высоты этих треугольников.

Заметим, что треугольники MBN и ABC подобны, так как прямые MN и AC параллельны, и сторона MN является частью стороны AC. Следовательно, соответствующие стороны треугольников MBN и ABC пропорциональны.

Пусть x – длина отрезка AM, тогда (15-x) – длина отрезка MC.
Так как треугольники MBN и ABC подобны, то можно записать следующую пропорцию: MN/AC = BN/BC.
Используя известные значения, получаем: 3/15 = BN/(BN+(15-x)).
Решая эту пропорцию относительно BN, получаем: BN = 3/5 * (BN+(15-x)).

Теперь рассмотрим треугольник ANC. Он также подобен треугольнику ABC, и мы можем установить следующую пропорцию: AC/BC = AN/NC.
Подставляя известные значения, получаем: 15/BC = AN/(15-x).
Решая эту пропорцию относительно AN, получаем: AN = 15/BC * (15-x).

Так как треугольники MBN и ABC подобны, а их соответствующие стороны пропорциональны, то их высоты также пропорциональны.
То есть h(MBN)/h(ABC) = BN/BC = (3/5) * (BN+(15-x))/BC.

Теперь мы можем выразить площади этих треугольников через их высоты: S(MBN) = (1/2) * MN * h(MBN) и S(ABC) = (1/2) * AC * h(ABC).
Подставляя известные значения, получаем: S(MBN) = (1/2) * 3 * ((3/5) * (BN+(15-x))/BC) и S(ABC) = (1/2) * 15 * h(ABC).

Отношение площадей треугольников равно S(MBN) / S(ABC). Подставляя ранее найденные значения, получаем:

S(MBN) / S(ABC) = (1/2) * 3 * ((3/5) * (BN+(15-x))/BC) / ((1/2) * 15 * h(ABC)).
Упрощая выражение, получаем: S(MBN) / S(ABC) = ((9/10) * (BN + (15-x))) / (15 * h(ABC)).
Таким образом, отношение площадей треугольников MBN и ABC составляет ((9/10) * (BN + (15-x))) / (15 * h(ABC)).

Обратите внимание, что чтобы решить эту задачу, требуется знание длин сторон треугольника ABC и длину отрезка AM или MC. Если эти данные неизвестны, то точное значение отношения площадей нельзя определить.