Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AC и DC в точках M и N соответственно, Известно, что AC=15, MN=3. Найдите отношение площадей треугольников S треугольника MBN : S треугольника ABC

Обозначим стороны треугольника ABC как a, b и c, где c = AC = 15.

Так как треугольники MBN и ABC имеют параллельные стороны, их высоты будут пропорциональны длинам соответствующих сторон. Обозначим высоты треугольников MBN и ABC как h1 и h2 соответственно.

Заметим, что отношение площади треугольника равно отношению произведений его стороны и соответствующей высоты. То есть,

S(MBN) / S(ABC) = (MN * h1) / (AC * h2).

По условию задачи, MN = 3 и AC = 15. Поэтому,

S(MBN) / S(ABC) = (3 * h1) / (15 * h2).

Осталось найти отношение высот h1 и h2. Обратимся к подобию треугольников ABC и MBN:

Треугольники ABC и MBN подобны по принципу задачи о параллельности прямых. Это означает, что их соответствующие стороны пропорциональны. Так как треугольник MBN параллелен стороне AC, то MN параллельна стороне BC, и, следовательно, стороны MB и AB пропорциональны. Это означает, что:

MB / AB = MN / AC,

или

MB / c = MN / AC.

Зная, что MN = 3 и AC = 15, можем выразить MB через c:

MB / 15 = 3 / 15,
MB = 3.

Таким образом, сторона MB равна 3.

Так как высота треугольника опускается на основание, то h1 и h2 будут пропорциональны их соответствующим сторонам.
Из подобия треугольников ABC и MBN следует, что:

h1 / h2 = MB / AB,
h1 / h2 = 3 / 15,
h1 = (3 / 15) * h2,
h1 = (1 / 5) * h2.

Теперь можем подставить полученные значения в выражение для отношения площадей:

S(MBN) / S(ABC) = (3 * h1) / (15 * h2) = (3 * (1 / 5) * h2) / (15 * h2) = 3 / 75 = 1 / 25.

Таким образом, отношение площадей треугольников S(MBN) к S(ABC) равно 1/25.