1. Рассмотрим треугольник KNZ. Поскольку прямая SX параллельна стороне KZ, по теореме Талеса имеем соотношение
NX / XZ = KS / SZ.
2. Из условия задачи CX = 8 и XZ = 66, поэтому SX = CX – XZ = 8 – 66 = -58.
3. Рассмотрим треугольники KSX и KSZ. Параллельные прямые SX и KZ пересекают стороны KN и NZ соответственно в точках S и X, поэтому по теореме Талеса имеем соотношение
KS / SN = KSX / NX,
KS / SZ = KSZ / XZ.
4. Заметим, что KSX = -KSZ, так как SX и KZ — параллельные прямые, а CX = 8 и XZ = 66. Поэтому KSX / NX = -KSZ / XZ = KS / SZ. Обозначим это соотношение как q:
KS / SN = q,
KS / SZ = q.
5. Просуммируем два уравнения:
KS / SN + KS / SZ = q + q,
KS (1/SN + 1/SZ) = 2q.
6. Поскольку треугольники KSX и KSZ подобны, то и их стороны KS и SM пропорциональны. Обозначим эту пропорцию как p:
KS / KN = p,
KS / NZ = p.
7. Просуммируем два уравнения:
KS / KN + KS / NZ = p + p,
KS (1/KN + 1/NZ) = 2p.
8. Из условия задачи известно, что KZ = 96, поэтому KN = KZ – NZ = 96 – NX. Подставим это значение в предыдущее уравнение:
KS (1/(96 – NX) + 1/NZ) = 2p.
9. Подставим значение NX / XZ = KS / SZ из шага 4 в предыдущее уравнение:
KS (1/(96 – NX) + 1/(96 – NX)) = 2p,
KS (2 / (96 – NX)) = 2p,
KS / (96 – NX) = p.
10. Из шагов 6 и 9 видно, что p = KS / (96 – NX) = KS / KN = q. Подставим это значение в предыдущее уравнение:
q = 2q,
KS / (96 – NX) = 2 KS,
1 / (96 – NX) = 2.
11. Разделим обе стороны уравнения на 2:
2 / (96 – NX) = 1,
96 – NX = 2,
NX = 96 – 2,
NX = 94.
12. Итак, получаем, что NX = 94.