На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Пусть точка C имеет координаты (0, 0, 0), а вектор AC имеет координаты (x1, y1, z1). Тогда уравнение прямой AC можно записать в параметрическом виде:
x = x1*t,
y = y1*t,
z = z1*t.
Поскольку прямая AC перпендикулярна плоскости α, то ее вектор нормали должен быть параллелен вектору нормали плоскости α. Пусть вектор нормали плоскости α имеет координаты (a, b, c).
Так как прямые AC и BD перпендикулярны, их векторы должны быть коллинеарными, то есть один можно получить из другого, умножив на некоторую константу. Пусть вектор BD имеет координаты (16/a, 16/b, 16/c). Тогда, с учетом нормировки вектора BD, получим:
(x1, y1, z1) = k*(16/a, 16/b, 16/c),
где k – некоторая константа.
Теперь найдем k. По условию задачи AC = 8. Подставим значения координат прямой AC:
8 = sqrt(x1^2 + y1^2 + z1^2).
Раскроем скобки и подставим значения координат:
8 = sqrt((16k/a)^2 + (16k/b)^2 + (16k/c)^2).
Возведем обе части уравнения в квадрат:
64 = (256k^2/a^2 + 256k^2/b^2 + 256k^2/c^2).
Далее приведем подобные слагаемые:
64 = 256k^2*(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2).
Выразим k^2:
k^2 = 64/(256*(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)).
Теперь, найдя k^2, можем выразить точку D. Координаты D – это координаты точки C плюс (16k/a, 16k/b, 16k/c):
D = (16k/a, 16k/b, 16k/c).
Теперь найдем длину отрезка CD. Расстояние между точками C и D можно найти по формуле:
CD = sqrt((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2 + (z2 – z1)^2),
где (x2, y2, z2) – координаты точки D, (x1, y1, z1) – координаты точки C.
Подставим значения координат точек:
CD = sqrt((16k/a – 0)^2 + (16k/b – 0)^2 + (16k/c – 0)^2).
Упростим данное выражение:
CD = sqrt((16k/a)^2 + (16k/b)^2 + (16k/c)^2) = 16k*sqrt(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2).
Таким образом, длина отрезка CD равна 16k*sqrt(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2), где k вычисляется по формуле k^2 = 64/(256*(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)).
