Пусть a, b и c – длины рёбер параллелепипеда, прилегающих к вершинам. Тогда согласно условию, a^2 + b^2 = 21^2 = 441.
Также известно, что сумма длин всех двенадцати рёбер равна 140, и каждое ребро появляется дважды в этой сумме. Значит, a + b + c = 140 / 2 = 70.
Мы должны найти площадь поверхности параллелепипеда, которая выражается формулой
2ab + 2bc + 2ac.
Найдём b и c, исходя из уравнения a + b + c = 70. Подставим a = 70 – b – c в уравнение a^2 + b^2 = 441:
(70 – b – c) ^ 2 + b ^ 2 = 441.
Получаем:
4900 – 140b – 140c + 2bc = 441.
Перепишем этот результат в более удобном виде:
bc – 70b – 70c + 4529 = 0.
Решим это уравнение относительно c, прибавив 4900 к обеим сторонам:
bc – 70b – 70c + 9429 = 4900.
Приведем подобные слагаемые:
bc – 70c – 70b = 1779.
Выразим c:
c(b – 70) = 70b – 1779.
c = (70b – 1779) / (b – 70).
Подставим это значение в уравнение a + b + c = 70:
a + b + (70b – 1779) / (b – 70) = 70.
Решим это уравнение относительно b. Для удобства представим a и b через новую переменную t: a = bt. Получим:
bt + b + (70b – 1779) / (b – 70) = 70.
Решим это уравнение относительно b и получим значения a, b и c. После этого подставим их в формулу площади поверхности параллелепипеда и получим окончательный ответ.