На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
а) Построим плоскость, параллельную диагонали АС. Пусть точка N’ на ребре С₁D₁ пересекает эту плоскость и плоскость ABCD в точках N₂ и N₃ соответственно. Обозначим длину отрезка CN₂ как x. Тогда длина отрезка DN₃ равна 6 – x.
Поскольку плоскость а параллельна диагонали АС, то отрезок ВN₂ также делится точкой М в отношении 1:4. Это означает, что BM = 4⋅MN₂ и MB = 5⋅MN₂.
Рассмотрим треугольник BMD₁. Применим теорему Пифагора:
BM² + MD₁² = BD₁²
(5⋅MN₂)² + (4⋅MN₂ + 6 – x)² = 6²
25⋅MN₂² + 16⋅MN₂² + 48⋅MN₂ – 8⋅MN₂⋅x + x² + 36 – 12⋅x + 36 – 12⋅x = 36
Упростим выражение и приведем подобные слагаемые:
41⋅MN₂² + 48⋅MN₂ – 24⋅x + x² + 72 – 24⋅x = 0
Для решения уравнения второй степени сделаем замену: y = MN₂.
41⋅y² + 48⋅y – 24⋅x + x² + 72 – 24⋅x = 0
Рассмотрим дискриминант D:
D = (48)² – 4⋅41⋅(72 – 24⋅x + x²)
D = 2304 – 16464 + 656⋅x – 164⋅x² + 41⋅x²
D = -14160 + 697⋅x – 123⋅x²
Поскольку точка N₂ находится на отрезке С₁D₁, то 0 ≤ x ≤ 6. Найдем значения D при этих границах:
D(x = 0) = -14160
D(x = 6) = -123
Оба значения отрицательны. Это означает, что уравнение не имеет действительных корней для x в интервале [0, 6].
Поскольку уравнение не имеет действительных корней, то отсутствует решение, в котором CN₂ : DN₃ = 1 : 4.
б) Угол между плоскостями а и ВСС равен углу МN₂B, поскольку плоскость а параллельна диагонали АС.
Так как ВМ : МН₂ = 4 : 1, то угол МN₂B равен углу ВMN₂.
Рассмотрим треугольник ВMN₂. По теореме косинусов:
cos(∠BMN₂) = (BM² + MN₂² – BN₂²) / (2⋅BM⋅MN₂)
ВМ = 5⋅MN₂, BN₂ = 6. Подставим эти значения:
cos(∠BMN₂) = (25⋅MN₂² + MN₂² – 36) / (2⋅5⋅MN₂⋅MN₂)
cos(∠BMN₂) = (26⋅MN₂² – 36) / (10⋅MN₂²)
cos(∠BMN₂) = (13⋅MN₂² – 18) / (5⋅MN₂²)
Заметим, что ∠BMN₂ является острым углом, поэтому cos(∠BMN₂) > 0.
Выразим cos(∠BMN₂) через 13⋅MN₂² – 18 > 0:
13⋅MN₂² – 18 > 0
MN₂² > 18 / 13
MN₂ > √(18 / 13)
Учитывая ограничение 0 ≤ x ≤ 6, получаем:
MN₂ > √(18 / 13)
Таким образом, угол между плоскостями а и ВСС является острым и можно найти его с помощью обратного косинуса:
∠BMN₂ = arccos((13⋅MN₂² – 18) / (5⋅MN₂²)), где MN₂ > √(18 / 13).
