Реши задачу: Дан куб ABCDA1B1C1D1 Найдите угол между прямыми B1D1(диагональ верхнего основания A1B1C1D1 ) и DC1(диагональ правой грани DD1C1C) A1B1C1D1 Верхнее основание ABCD Нижнее основание Решите кратко и по пунктам

Шаги решения:

1. Найдем длину диагонали B1D1:
– По теореме Пифагора, длина диагонали B1D1 равна корню суммы квадратов длин ребер куба ABCDA1B1C1D1.
– Единичная длина ребра куба равна a, поэтому длина диагонали B1D1 равна sqrt(2a^2) = a*sqrt(2).

2. Найдем длину диагонали DC1:
– Также по теореме Пифагора, длина диагонали DC1 равна корню суммы квадратов длины ребра куба ABCDA1B1C1D1 и длины ребра квадрата A1C1D1C.
– Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна a, а длина ребра квадрата A1C1D1C равна a/√2.
– Таким образом, длина диагонали DC1 равна sqrt(a^2 + (a/√2)^2) = a*sqrt(1 + 1/2) = a*sqrt(3/2).

3. Найдем косинус угла между прямыми B1D1 и DC1, используя формулу косинуса:
– Косинус угла между прямыми B1D1 и DC1 равен отношению скалярного произведения векторов B1D1 и DC1 к произведению их длин.
– Произведение длин векторов равно (a*sqrt(2)) * (a*sqrt(3/2)) = a^2 * sqrt(6/4) = a^2 * sqrt(3/2).
– Скалярное произведение векторов равно 0, так как эти два вектора являются перпендикулярными.
– Таким образом, косинус угла между прямыми B1D1 и DC1 равен 0.

4. Найдем сам угол между прямыми B1D1 и DC1, используя обратную тригонометрическую функцию:
– В данном случае, угол равен 90 градусов или π/2 радиан.

Таким образом, угол между прямыми B1D1 и DC1 составляет 90 градусов или π/2 радиан.