Чтобы решить эту задачу, давайте начертим рисунок:
B
/
/
/____
A C
Пусть A, B, C – вершины равнобедренного треугольника, c основанием AB, а a – длина его боковой стороны.
Пусть M – произвольная точка на основании AB.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то AC = BC.
Построим прямую, проходящую через точку M и параллельную стороне AB, и обозначим точку пересечения этой прямой с стороной AC – точкой P.
Аналогично, проведем прямую, проходящую через точку M и параллельную стороне BC, и обозначим точку пересечения этой прямой с стороной AB – точкой Q.
Таким образом, получим параллелограмм AMQP.
Так как AM || QB, то треугольник QMB также равнобедренный, и можно заметить, что MQ = QB.
Из Теоремы Фалеса следует, что MP/PA = MQ/QB = MQ/AM.
Так как MP = MQ и AM = AC, то имеем MP/PA = MP/AC.
Следовательно, треугольники MPC и PCA подобны. В результате получим, что CP/CA = CM/CP.
Таким образом, CP^2 = CA × CM.
Из вышеуказанных соображений следуют следующие равенства:
(1) CP^2 = CA × CM
(2) CM = BM – BC
(3) BM + BC = a
Подставим значение CM(из (2)) в (1) и получим:
CP^2 = CA × (BM – BC)
CP^2 = CA × (a – BC)
Так как CP = AC, получим:
AC^2 = CA × (a – BC)
AC = a (так как треугольник ABC равнобедренный),
получим:
a^2 = a × (a – BC)
a^2 = a^2 – a × BC
0 = -a × BC
Так как a > 0, то BC = 0, т.е. точка B совпадает с точкой C.
Итак, получается, что треугольник ABC является равносторонним, и все его стороны равны a.
Периметр четырехугольника AMQP равен сумме длин сторон этого треугольника: a + a + a + MP.
Так как MQ = QB = a, то MP = MA – AQ = AM – AB = AM – a.
Значит, периметр четырехугольника AMQP равен a + a + a + a – a = 3a.
Итак, периметр получившегося четырехугольника равен 3a.