Пусть сторона ромба ABCD равна а, а сторона треугольника EBF равна b.
1) Найдём угол B. Угол B является дополнительным к углу EBF, а также дополнительным к углу A. Значит, B = 180 – α.
2) Найдём площадь ромба ABCD. Площадь ромба равна произведению диагоналей, разделённому на 2:
S_ромба = (AC * BD) / 2.
Поскольку AC и BD равны, получаем S_ромба = (AC^2) / 2.
3) Найдём площадь треугольника EBF. Площадь треугольника равна произведению половины стороны на высоту, опущенную на эту сторону:
S_треугольника = (b * BF) / 2.
4) Найдём высоту треугольника BF. Поскольку треугольник BDF является прямоугольным с прямым углом в точке D, высота треугольника BF равна половине стороны ромба AC:
BF = AC / 2.
Тогда S_треугольника = (b * (AC / 2)) / 2 = (b * AC) / 4.
5) Теперь найдём искомое отношение площадей:
S_отношения = S_ромба / S_треугольника = ((AC^2) / 2) / ((b * AC) / 4) = (2 * AC) / b.
6) Заметим, что треугольник EBF и треугольник EDF являются подобными (оба прямоугольные, а также равным углом углом EDF и углом EBF). Поэтому соотношение сторон
DE / EB = DF / BF.
7) Так как DF и DE равны, то DE / EB = 1. Подставим значение BF = AC / 2 из пункта 4):
1 = DF / (AC / 2), отсюда DF = AC / 2.
8) Подставим значение DF в соотношение из пункта 6):
DE / EB = 1 = DF / BF = (AC / 2) / (AC / 2) = 1.
9) Получаем, что DE = EB.
10) Значит, треугольник EBF является равнобедренным треугольником, и EB = BF. Подставим это значение в выражение для S_отношения из пункта 5):
S_отношения = (2 * AC) / b = (2 * AC) / (AC / 2) = 4.
Итак, получаем, что коэффициент отношения площади ромба и площади треугольника EBF равен 4.