Для начала найдем длину полудиагонали ромба. Пусть а – сторона ромба, и d – полудиагональ ромба.
Так как ромб равнобедренный, то d/d’ = a/√2, где d’ – диагональ ромба.
Также по теореме Пифагора получаем, что a^2 = (d/2)^2 + (d’^2/4).
Подставим выражение d’ = 2d/√2 в это уравнение:
a^2 = (d/2)^2 + (4d^2)/8
a^2 = d^2/4 + d^2/2
a^2 = 3d^2/4
4a^2 = 3d^2
d = 2a/√3
Теперь можем найти радиус окружности r. Так как она вписана в ромб, радиус окружности r равен половине диагонали ромба d.
r = d/2 = (2a/√3) / 2 = a/√3
Площадь ромба S_ромба образуется удвоением площади одного из треугольников в ромбе. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:
S_треугольника = (1/2) * основание * высота
Высота h_треугольника равна радиусу окружности r.
S_треугольника = (1/2) * a * r = (1/2) * a * (a/√3) = a^2 / (2√3)
Таким образом, площадь ромба S_ромба равна:
S_ромба = 2 * S_треугольника = 2 * (a^2 / (2√3)) = a^2 / √3
Теперь найдем площадь четырехугольника S_четырехугольника, вершинами которого служат точки касания окружности со сторонами ромба. Четырехугольник можно разбить на 4 прямоугольных треугольника.
Площадь одного треугольника S_треугольника равна:
S_треугольника = (1/2) * основание * высота
Основание прямоугольного треугольника равно (a – 2r), а его высота совпадает с радиусом r.
S_треугольника = (1/2) * (a – 2r) * r = (1/2) * (a – 2(a / √3)) * (a / √3) = (a^2 / √3) * (1 – 2/√3)
Таким образом, площадь четырехугольника S_четырехугольника равна:
S_четырехугольника = 4 * S_треугольника = 4 * [(a^2 / √3) * (1 – 2/√3)] = 4a^2 * (1 – 2/√3) / √3
Теперь можем найти отношение площади четырехугольника к площади ромба:
Отношение = S_четырехугольника / S_ромба = [4a^2 * (1 – 2/√3) / √3] / [a^2 / √3] = 4 * (1 – 2/√3) = 4 – 8/√3 = (4√3 – 8) / √3