Для решения данной задачи мы будем использовать теорему о квадрате касательной.
1. Известно, что окружность касается стороны AC в точке K. То есть, отрезок CK является касательной к окружности и прямой AC. Поэтому, угол ACB является прямым углом, так как любой угол, образованный касательной и хордой окружности, равен 90°.
2. Обозначим точки пересечения окружности с прямыми AB и BC соответственно как точки M и N. Так как точка B лежит на окружности, то угол BMA равен 90°.
3. Из теоремы о квадрате касательной следует, что длина отрезка BK в квадрате равна произведению длин отрезков MA и BN. То есть, BM*BN = BK^2.
4. Угол AKM равен 60°. Как следствие, угол BAM равен 180° – 90° – 60° = 30°, так как сумма углов треугольника равна 180°.
5. Угол A = 50°. Так как угол BAM равен 30°, угол BAC равен 50° – 30° = 20°.
6. Треугольники BKN и BAC подобны, так как у них два угла равны (углы A и BAC) и угол BNK является общим углом. Поэтому, отношение длин отрезков BK и BA равно отношению длин отрезков BN и BC.
7. Подставим известные значения в подобие треугольников: BK/BA = BN/BC. По теореме о квадрате касательной, BK^2 = BM*BN. Заменим BM*BN на BK^2: BK/BA = BK^2/BC.
8. Упростим выражение, поделив обе части равенства на BK: 1/BA = BK/BC.
9. Заменим BA на BK + KA: 1/(BK + KA) = BK/BC.
10. Раскроем скобки и упростим: 1 = (BK^2 + BK*KA)/BC.
11. Умножим обе части равенства на BC: BC = BK^2 + BK*KA.
12. В треугольнике BCK угол BKC равен 180° – угол BNK – угол CKN = 180° – 40° – 90° = 50°.
Таким образом, мы получаем, что угол C равен 50°. Ответ: ∠C = 50°.