Пусть x – длина меньшего основания трапеции, тогда 3x – длина большего основания.
По формуле площади трапеции S = (сумма оснований) * (высота) / 2, имеем:
144 = (x + 3x) * h / 2,
где h – высота трапеции.
144 = 4x * h / 2,
288 = 4x * h,
72 = x * h.
Также, по теореме Пифагора, имеем:
(большее основание)^2 = (меньшая боковая сторона)^2 + (высота)^2,
(3x)^2 = 6^2 + h^2,
9x^2 = 36 + h^2.
Теперь у нас есть система уравнений:
72 = x * h,
9x^2 = 36 + h^2.
Решим данную систему.
Из первого уравнения выразим высоту h через основание x:
h = 72 / x.
Подставим это выражение во второе уравнение:
9x^2 = 36 + (72 / x)^2.
Раскроем скобку во втором слагаемом:
9x^2 = 36 + 72^2 / x^2.
Упростим выражение:
9x^4 – 36x^2 – 72^2 = 0.
Решив данное уравнение второй степени, найдем значения x:
x = ±6.
Так как x не может быть отрицательным (так как является длиной стороны), то x = 6.
Теперь найдем значение h, подставив x = 6 в первое уравнение системы:
h = 72 / 6 = 12.
Таким образом, меньшее основание равно 6 см, большее основание равно 18 см и высота равна 12 см.