Секущая, идущая из точки М и пересекающая окружность в точках А и В, повернулась вокруг точки М так, что её внешний отрезок AM уменьшился в 3 раза. Как изменялся отрезок ВМ?

Пусть исходно отрезок AM имеет длину x, а отрезок ВМ — длину y.

Так как отрезок AM уменьшился в 3 раза, то после поворота его длина стала x/3.

Заметим, что отрезки AM и BM — хорды окружности, которые опираются на одну и ту же дугу AB.

Так как хорды, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны, то получаем следующее уравнение:

x/3 = y

Отсюда получаем значение отрезка ВМ:

y = x/3

Таким образом, отрезок ВМ также уменьшился в 3 раза после поворота.

Ответ: Отрезок ВМ также уменьшился в 3 раза.