Данная гипербола имеет фокусы на оси ординат, поэтому ее уравнение будет иметь вид:
( y – c )^2 / a^2 – ( x – h )^2 / b^2 = 1
где (h, c) – координаты центра гиперболы, а^2 = b^2 + c^2.
Расстояние между директрисами, равное 50/7, равно 2a/ε, где ε – эксцентриситет. Таким образом, имеем
2a/ε = 50/7,
т.е.
2a/(5/7) = 50/7,
или
2a = 50*5/7 = 250/7.
Так как в данном случае центр гиперболы совпадает с началом координат (h = 0, c = 0), то уравнение гиперболы может быть записано просто как
y^2 / a^2 – x^2 / b^2 = 1.
Для определения b^2 воспользуемся соотношением a^2 = b^2 + c^2 и данной нам информацией об эксцентриситете ε = 5/7:
(a^2 – c^2) / c^2 = ε^2,
(b^2 + c^2 – c^2) / c^2 = (5/7)^2,
b^2 = (5/7)^2 * c^2.
Подставим полученное значение для b^2 в уравнение гиперболы:
y^2 / a^2 – x^2 / [(5/7)^2 * c^2] = 1,
или, упрощая,
7^2 * y^2 – 5^2 * x^2 = 49 * a^2.
Подставим значение a^2 = (250/7)^2:
7^2 * y^2 – 5^2 * x^2 = 49 * (250/7)^2.
Таким образом, уравнение гиперболы будет:
49y^2 – 25x^2 = 49 * (250/7)^2.