Для составления уравнения плоскости, проходящей через точку K и параллельной плоскости П, мы знаем, что вектор нормали новой плоскости будет совпадать с вектором нормали плоскости П.
1. Найдем вектор нормали плоскости П. Для этого возьмем коэффициенты уравнения плоскости П и запишем их в виде вектора: Н(2, 2, -1).
2. Составим уравнение новой плоскости, используя известную точку K и вектор нормали Н:
2 * (x – 3) + 2 * (y – 2) – 1 * (z + 4) = 0.
Упростим уравнение:
2x – 6 + 2y – 4 – z – 4 = 0,
2x + 2y – z – 14 = 0.
Это и есть уравнение плоскости, проходящей через точку K и параллельной плоскости П.
3. Для определения расстояния между этими плоскостями, мы можем взять любую точку, лежащую на одной из плоскостей, и найти ее перпендикулярное расстояние до другой плоскости.
Возьмем точку M(0, 0, -3), лежащую на плоскости П.
Найдем расстояние между точкой M и плоскостью n с уравнением 2x + 2y – z – 14 = 0, используя формулу для расстояния от точки до плоскости:
d = |2 * 0 + 2 * 0 – (-3) – 14| / sqrt(2^2 + 2^2 + (-1)^2),
d = |-3 – 14| / sqrt(4 + 4 + 1),
d = |-17| / sqrt(9),
d = 17 / 3.
Таким образом, расстояние между плоскостью П и плоскостью, проходящей через точку K(3;2;-4) и параллельной плоскости П, составляет 17/3.