Уравнение окружности имеет вид (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, где (a, b) – координаты центра окружности, r – радиус окружности.
Шаги решения:
1. Найдем точку пересечения данных параллельных прямых, положив их уравнения равными друг другу:
x – 2y + 13 = x – 2y + 3
10 = 0
Это противоречие, поэтому эти прямые не пересекаются. Они параллельны и расстояние между ними равно модулю разности свободных членов уравнений прямых.
Расстояние между прямыми: d = |13 – 3| = 10
2. Найдем уравнения окружностей, проходящих через точку (-1, 2) с радиусом, равным расстоянию между параллельными прямыми (т.е. 10). Для этого найдем координаты центров окружностей.
Первая окружность:
Расстояние от центра окружности до прямой x – 2y + 13 = 0 должно быть равно 10. Используем формулу для расстояния от точки до прямой:
d1 = |(a – 2b + 13)/sqrt(1^2 + (-2)^2)| = 10
a – 2b + 13 = ±10*sqrt(5) (1)
Вторая окружность:
Расстояние от центра окружности до прямой x – 2y + 3 = 0 должно быть равно 10. Используем формулу для расстояния от точки до прямой:
d2 = |(a – 2b + 3)/sqrt(1^2 + (-2)^2)| = 10
a – 2b + 3 = ±10*sqrt(5) (2)
3. Решим систему уравнений (1) и (2) методом подстановки.
Рассмотрим первый случай:
a – 2b + 13 = 10*sqrt(5)
a – 2b + 3 = -10*sqrt(5)
a = 10*sqrt(5) – 13
b = 10 – (10*sqrt(5) – 13)/2
Подставим значения a и b в первое уравнение окружности:
(x – (10*sqrt(5) – 13))^2 + (y – (10 – (10*sqrt(5) – 13)/2))^2 = 100
Аналогичные шаги проделываем для второго случая.
Таким образом, мы составили уравнения двух окружностей, которые касаются параллельных прямых и проходят через точку (-1, 2).