Для начала найдем направляющий вектор прямой x + 2y – 1 = 0. Уравнение прямой можно переписать в виде y = (-1/2)x + 1/2, откуда видно, что ее направляющий вектор равен (1, -1/2).
Затем найдем координаты точек, удаленных от точки A(1, 1) на расстояние 1. Эти точки будут лежать на окружности с центром в точке A(1, 1) и радиусом 1. Используя уравнение окружности, можно записать два уравнения:
(x – 1)^2 + (y – 1)^2 = 1 (уравнение окружности)
или
x^2 + y^2 – 2x – 2y + 1 = 0.
Теперь обозначим за B(x, y) точку, в которой прямая пересекает окружность.
Так как прямая образует угол arccos(1/корень 5) с прямой x + 2y – 1 = 0, то ее нормальный вектор будет равен (1, -2).
Так как угол между векторами равен углу между прямыми, мы можем записать следующее уравнение: (1, -2) • (x – 1, y – 1) = |(1, -2)|| (x + 2y – 1)||cos(arccos(1/√5))|.
В уравнении используется скалярное произведение и модуль вектора.
Выполним все расчеты:
(1, -2) • (x – 1, y – 1) = |(1, -2)|| (x + 2y – 1)||cos(30)|
1(x-1) – 2(y-1) = √5*(x + 2y – 1)*√3/2
x – 1 – 2y + 2 = (x + 2y – 1)*(√5/√2)
x – 2y + 1 = (x + 2y – 1)*(√5/√2)
√2(x – 2y + 1) = x + 2y – 1
√2x – 4√2y + √2 = x + 2y – 1
√2x – x = 4√2y + 2y – √2 + 1
x(√2 – 1) = 6√2y – √2 + 2
x = (6√2y – √2 + 2)/(√2 – 1)
Таким образом, уравнение прямой, образующей угол arccos(1/корень 5) с прямой x + 2y – 1 = 0 и удаленной от точки A(1, 1) на расстояние 1, равно x = (6√2y – √2 + 2)/(√2 – 1).