Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору BC, нам понадобятся три вектора, параллельных плоскости. Векторы AB и AC лежат в плоскости, поскольку они проходят через точку A и точки B и C. Затем мы найдем их векторное произведение, чтобы получить третий вектор, перпендикулярный плоскости.
1. Найдите вектор AB, вычтя координаты точки B из координат точки A:
AB = A – B = (-1 – (-2) ; 1 – (-3) ; 0 – 4) = (1; 4; -4).
2. Найдите вектор AC, вычтя координаты точки C из координат точки A:
AC = A – C = (-1 – (-1) ; 1 – 2 ; 0 – 3) = (0; -1; -3).
3. Найдите векторное произведение векторов AB и AC для получения вектора, перпендикулярного плоскости:
n = AB × AC = (4 * (-3) – (-4) * (-1) ; (-4) * (0) – (1) * (-4) ; (1) * (-1) – (4) * (0)) = (8 ; -4 ; -1).
Теперь у нас есть точка A (–1; 1; 0) и вектор нормали к плоскости n = (8; -4; -1).
Уравнение плоскости можно записать в виде:
8(x – (-1)) – 4(y – 1) – (z – 0) = 0.
Упростим уравнение:
8(x + 1) – 4(y – 1) – z = 0.
Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку A (–1; 1; 0) и перпендикулярной вектору n=BC, можно записать как 8(x + 1) – 4(y – 1) – z = 0.