Сторона BC треугольника ABC в три раза больше стороны AB. На стороне BC взята точка D так, что отрезок BD в два раза больше, чем CD. Биссектриса BE треугольника ABC пересекает AD в точке F. Определить площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника AEF равна 8.

Пусть AB = x, а BC = 3x.

Также, пусть CD = y, тогда BD = 2y.

Так как AD является биссектрисой треугольника ABC, то отрезок AF делит BC в отношении BC : BA = 3x : x = 3 : 1.

Тогда мы можем записать соотношение AF : AD = 3 : 1.

Из подобия треугольников AEF и ADB, мы можем записать соотношение их площадей:

Площадь AEF / Площадь ADB = (AE / AD)^2

8 / (1/2 * AB * AD) = (AF / AD)^2

8 / (1/2 * x * (1/2 * x + y)) = (3/4)^2

8 / (1/4 * (x^2 + 2xy)) = 9/16

Кросс-умножение приводит нас к уравнению:

64 = 9 * (x^2 + 2xy)

64 = 9x^2 + 18xy

9x^2 + 18xy – 64 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение относительно x.

Решив уравнение, мы найдем: x = 4 и y = 1.

Таким образом, AB = 4, BC = 12, CD = 1.

Площадь треугольника ABC можно вычислить с помощью формулы Герона:
S = sqrt(p * (p – AB) * (p – BC) * (p – AC)), где p – полупериметр.

Полупериметр p = (AB + BC + AC) / 2 = (4 + 12 + AC) / 2 = (AC + 16) / 2 = AC/2 + 8.

Таким образом, S = sqrt((AC/2 + 8) * ((AC/2 + 8) – 4) * ((AC/2 + 8) – 12) * ((AC/2 + 8) – AC)).

Упростим это выражение:
S = sqrt((AC/2 + 8) * (AC/2 + 4) * (AC/2 – 4) * (AC/2 + 8 – AC)).

Теперь заметим, что AC/2 – 4 и AC/2 + 8 – AC равны 2, поскольку они являются высотами прямоугольного треугольника ABD и треугольника BCD соответственно.

Тогда S = sqrt((AC/2 + 8) * (AC/2 + 4) * 2 * 2).

Имеем S = sqrt(4 * (AC/2 + 8) * (AC/2 + 4)) = 2 * sqrt((AC/2 + 8) * (AC/2 + 4)).

Так как площадь треугольника ABC равна 3 раза площади треугольника AEF, имеем:

S = 2 * sqrt((4/2 + 8) * (4/2 + 4)) = 2 * sqrt(14 * 8) = 2 * sqrt(112) = 16 * sqrt(7).

Поэтому площадь треугольника ABC равна 16 * sqrt(7).