Обозначим основание треугольной призмы как ABC, где AB = AC = BC = 18 см. Пусть M – середина стороны AB, а O – точка пересечения основания с диагональю. Так как треугольник ABC является правильным, то треугольник AOB также является равносторонним.
По условию, диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол 45°. Это означает, что треугольники OMB и OMC являются прямоугольными с прямым углом при M.
Так как треугольник AOB равносторонний, то углы OMB и OMC равны 45° каждый. Значит, треугольники OMB и OMC являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.
Выберем точку D на прямой OM так, чтобы OD было равно R – радиусу окружности, вписанной в базу прямоугольной боковой грани цилиндра. Так как треугольник OMB равнобедренный, то MD также равно R.
Теперь посмотрим на треугольник DMB. Он является равнобедренным, так что угол альфа между MD и DM равен 45°. В треугольнике DMB угол альфа соответствует углу бета, отсюда следует, что бета также равен 45°.
Таким образом, у треугольника DMB 2 угла по 45°, значит, он равнобедренный прямоугольный. Это означает, что отношение сторон треугольника DMB составляет 1:1:√2.
Таким образом, длина DM равна R, а длина MB равна R√2. Из этого следует, что площадь боковой поверхности цилиндра равна периметру треугольника DMB умноженному на высоту цилиндра, то есть 3R√2 * 18.
Тем самым, площадь боковой поверхности цилиндра равна 54R√2.