Для решения задачи нам понадобится использовать геометрические свойства треугольников и прямых углов.
Шаги решения:
1. Поскольку основание призмы является правильным треугольником, его сторона равна 18 см.
2. Разбиваем треугольник на две прямоугольные треугольные грани, используя диагональ боковой грани, образующую с плоскостью основания угол 45°.
3. В каждой прямоугольной треугольной грани катеты равны половине стороны основания треугольника (18 см) и одной стороне треугольника.
4. Поскольку у нас правильный треугольник, для каждой прямоугольной треугольной грани сторона треугольника равна стороне основания, т.е. 18 см.
5. Находим длину гипотенузы каждой прямоугольной треугольной грани, используя теорему Пифагора: a^2 + b^2 = c^2. В нашем случае с^2 = (18/2)^2 + 18^2 = 9^2 + 18^2 = 81 + 324 = 405. Таким образом, c = √405 см.
6. Так как цилиндр является вписанным в призму, его высота равна диагонали прямоугольного треугольника, то есть c = √405 см.
7. Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле S = 2πrh, где r – радиус основания цилиндра, h – его высота. В нашем случае r = 18/2 = 9 см.
8. Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна S = 2πrh = 2π * 9 см * √405 см.
Ответ: площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму, равна 18π√405 см^2 (или около 1419 см^2, округленное до целых).