Пусть точка M – точка пересечения отрезка KS со стороной AC. Из условия задачи следует, что треугольник KAS подобен треугольнику ABC.
По свойству подобия треугольников, отношение длин соответствующих сторон треугольников равно. То есть:
KA/AB = KS/BC = AS/AC.
Подставим известные значения:
KA/(2/5) = KS/√7 = AS/2.
Так как KA/AB > 1 (по условию задачи KA/AB > 1) и KA/AB = KS/BC, то KS/BC > 1.
Так как KS/√7 = KS/BC > 1, то KS^2 > 7.
Учитывая, что KA^2 = AS^2 – KS^2, получим KA^2 < AS^2 - 7. Рассмотрим треугольник ACS. Применим теорему косинусов: cos(ACS) = (AC^2 + AS^2 - CS^2)/(2*AC*AS). Так как ACS > 90°, то cos(ACS) < 0. (AC^2 + AS^2 - CS^2)/(2*AC*AS) < 0. AC^2 + AS^2 - CS^2 < 0. AC^2 + AS^2 < CS^2. AC^2 + 4/25 + KA^2 < KS^2 + AS^2. KS^2 - KA^2 > AC^2 + 4/25 – AS^2.
7 – KA^2 > AC^2 + 4/25 – AS^2.
AC^2 + 4/25 – AS^2 < 7 - KA^2 < 0. AC^2 + 4/25 - AS^2 < 0. AC^2 + 4/25 < AS^2. AC^2 < AS^2 - 4/25. Отсюда следует, что AC < AS. Т.к. KA/AB > 1, то AC < AS < KS. Из полученного следует, что треугольник KAS остроугольный. Таким образом, для остроугольного треугольника справедливо 0 < cos(ACS) < cos(pi/2) = 1. Ответ: косинус угла АКС лежит в интервале от 0 до 1.