Стороны основания прямого параллелепипеда 5 и 7 см и угол между ними 30 град. Меньшая диагональ параллелепипеда равна 12. Найти площадь боковой, полной поверхности и объем параллелепипеда.

Первым шагом найдем высоту прямого параллелепипеда, используя меньшую диагональ.
У нас есть равнобедренный треугольник, в котором одно из оснований – это сторона параллелепипеда, а две другие стороны – это диагонали боковой грани параллелепипеда. Так как угол между сторонами прямой параллелепипеда 30 градусов, угол между сторонами треугольника тоже 30 градусов.

Меньшая диагональ (равная 12 см) является гипотенузой треугольника, а катетами служат стороны основания прямого параллелепипеда длиной 5 и 7 см.

Применяя тригонометрический закон косинусов, мы можем найти длину катета, который представляет собой высоту прямого параллелепипеда.

h^2 = a^2 + b^2 – 2ab*cos(C)
h^2 = 5^2 + 7^2 – 2*5*7*cos(30)
h^2 = 25 + 49 – 70*cos(30)
h^2 = 25 + 49 – 70*(√3/2)
h^2 = 25 + 49 – 35√3
h^2 ≈ 74 – 35√3
h ≈ √(74 – 35√3)

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту параллелепипеда:

Sбок = (a + b) * h
Sбок = (5 + 7) * √(74 – 35√3)
Sбок = 12 * √(74 – 35√3)

Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда равна сумме площадей двух оснований и площадей боковых поверхностей:

Sполн = 2ab + Sбок
Sполн = 2 * 5 * 7 + 12 * √(74 – 35√3)

Объем параллелепипеда вычисляется как произведение площади основания на высоту:

V = ab * h
V = 5 * 7 * √(74 – 35√3)

Таким образом, площадь боковой поверхности равна 12 * √(74 – 35√3), площадь полной поверхности равна 2 * 5 * 7 + 12 * √(74 – 35√3), и объем параллелепипеда равен 5 * 7 * √(74 – 35√3).