Для начала, найдем высоту параллелепипеда, проведем его проекции на основания. Для этого воспользуемся формулой геометрической прогрессии:
l^2 = h^2 + a^2,
где l – диагональ параллелепипеда, h – высота, a – сторона основания. Найдем значение высоты:
h^2 = l^2 – a^2,
h^2 = 12^2 – (sqrt(18))^2,
h^2 = 144 – 18 = 126,
h = sqrt(126) = sqrt(9 * 14) = 3 * sqrt(14).
Теперь найдем длину большей диагонали параллелепипеда. Для этого применим теорему Пифагора для треугольника, составленного из бокового ребра, диагонали основания и проекции высоты:
d^2 = h^2 + a^2 + b^2,
где d – большая диагональ, a и b – стороны основания. Найдем значения:
d^2 = (3 * sqrt(14))^2 + 18 + 49 = 9 * 14 + 67 = 133 + 67 = 200,
d = sqrt(200) = 10 * sqrt(2).
Меньшая диагональ равна альтернативной диагонали основания, то есть длине стороны основания, которая не участвовала в применении формулы для большей диагонали. Таким образом, меньшая диагональ равна sqrt(7) см.
Итак, меньшая диагональ параллелепипеда равна sqrt(7) см.
Ответ: sqrt(7) см.