Для начала, нам нужно определить, какие углы являются наибольшими. Найдем все углы в тетраэдре SMKT, используя заданные косинусы.
cos∠MST = 4/14 = 2/7, значит:
∠MST = arccos(2/7) ≈ 64.47°
cos∠MSK = 1/2, значит:
∠MSK = arccos(1/2) = 60°
cos∠TSK = 1/9, значит:
∠TSK = arccos(1/9) ≈ 84.26°
Зная эти углы, мы можем использовать косинусное правило для нахождения длин боковых ребер:
MS^2 = ST^2 + MT^2 – 2 * ST * MT * cos∠MST
MK^2 = SK^2 + MS^2 – 2 * SK * MS * cos∠MSK
TK^2 = ST^2 + SK^2 – 2 * ST * SK * cos∠TSK
Так как все боковые ребра равны, мы можем заменить их переменной a:
a^2 = a^2 + MT^2 – 2 * a * MT * cos∠MST
a^2 = a^2 + MS^2 – 2 * a * MS * cos∠MSK
a^2 = a^2 + SK^2 – 2 * a * SK * cos∠TSK
Упростим уравнения:
MT^2 = 2 * a * MT * cos∠MST
MS^2 = 2 * a * MS * cos∠MSK
SK^2 = 2 * a * SK * cos∠TSK
Сокращаем на a:
MT = 2 * cos∠MST = 2 * (2/7) = 4/7
MS = 2 * cos∠MSK = 2 * (1/2) = 1
SK = 2 * cos∠TSK = 2 * (1/9) ≈ 2/9
Теперь мы можем сравнить длины боковых ребер. Заметим, что SK наименьшая, поэтому она не может быть боковой гранью наибольшей площади. Остаются MT и MS.
Так как MT > MS (4/7 > 1), боковой гранью наибольшей площади будет грань SMT.