Пусть радиус описанной окружности треугольника ABD равен r. Тогда, по теореме о трёх касательных, DC — касательная к окружности с радиусом r, проведённая из точки D. Следовательно, AD является её секущей, и AD^2 = BD·DC = 4·2 = 8.
Аналогично, пусть R — радиус описанной окружности треугольника ACD. Так как DB — касательная к этой окружности, проведённая из точки D, то
AD^2 = DC·DB = 4·2 = 8.
Таким образом, получаем систему уравнений (8), где x = AD^2:
x = 8,
x = 8.
Решив данную систему, получаем x = 8.
Теперь найдем площадь треугольника ABC, используя формулу Герона:
S = sqrt(p·(p−a)·(p−b)·(p−c)),
где a, b и c — длины сторон треугольника, p — полупериметр, равный сумме длин сторон, деленной на 2.
В нашем случае треугольник ABC имеет стороны AB = BD + DA = 4 + 3 = 7, AC = CD + DA = 2 + 3 = 5 и BC = 7 – 2 = 5.
Полупериметр p равен (7 + 5 + 5) ÷ 2 = 17 ÷ 2 = 8.5.
Подставляя полученные значения в формулу Герона, получаем:
S = sqrt(8.5·(8.5−7)·(8.5−5)·(8.5−5)) = sqrt(8.5·1.5·3.5·3.5) ≈ 3.5.
Таким образом, площадь треугольника АВС примерно равна 3.5.