Обозначим точку пересечения прямой АК с стороной ВС как P. Также обозначим точку пересечения стороны АВ с медианой ВМ как Q. Поскольку точка К делит медиану ВМ в отношении 1:2, то ВК:КМ = 1:2.
Рассмотрим треугольник АВМ. Поскольку медиана ВМ делится точкой К в отношении 1:2, то точка Q делит сторону АВ в таком же отношении. То есть, AQ:QB = 1:2.
Поскольку точки D, K и C лежат на отрезке ВС, применим теорему Менелая для треугольника АВС с прямыми АК и МКD:
АQ/QB * BD/DC * CK/KA = 1.
Из предыдущего шага известно, что AQ:QB = 1:2. Поскольку точка К делит отрезок ВМ в отношении 1:2, то CK:KA = 2:1.
Подставляем эти значения в теорему Менелая:
(1/2) * BD/DC * (2/1) = 1.
Упрощаем выражение и получаем следующее:
BD/DC = 1.
Таким образом, мы выяснили, что отношение BD к DC равно 1:1.
Рассмотрим площади треугольников АВК и МКС. Поскольку отношения сторон BD:DC и AK:KC равны 1:1, то отношение площадей треугольников АВК и МКС будет также равно 1:1. Таким образом, отношение площади треугольника АВК к площади четырёхугольника KMCD также будет равно 1:1.