Для начала докажем, что векторы KL и NA коллинеарны. Для этого заметим, что точка K – середина ребра NA, а точка L – середина ребра NB и значит, вектор KL будет равен полусумме векторов NA и NB (KL = 1/2(NA + NB)).
Аналогично, векторы KL и NC также коллинеарны, так как KL = 1/2(NA + NC).
Теперь рассмотрим треугольник ABC и треугольник KLN. Как мы только что доказали, векторы KL и NA коллинеарны, а векторы KL и NC коллинеарны. Это означает, что треугольник ABC и треугольник KLN имеют две параллельные стороны.
Для того чтобы плоскости KLN и ABC были параллельными, необходимо и достаточно, чтобы треугольники имели одну пару параллельных сторон и эти стороны соотносились пропорционально.
Исходя из этого, можем сделать вывод, что плоскости KLN и ABC действительно параллельны.
Чтобы найти площадь треугольника ABC, воспользуемся соотношением площадей треугольников. Обозначим S1 площадь треугольника KLN и S2 площадь треугольника ABC.
Так как стороны треугольников KLN и ABC соотносятся пропорционально (с коэффициентом 2), то площади треугольников будут соотноситься как квадраты коэффициента пропорциональности.
То есть S2 = (2)^2 * S1 = 4 * 19 = 76 см².