Чтобы найти объем пирамиды SABC, мы можем воспользоваться формулой для объема пирамиды, которая выглядит следующим образом: V = (1/6) * |(AB · AC) × AD|, где AB обозначает вектор между точками A и B, AC – вектор между точками A и C, AD – вектор между точками A и D, и “×” представляет собой векторное произведение этих векторов, а “·” – скалярное произведение.
1. Найдем векторы AB, AC и AD:
AB = B – A = (-1 – 1)·i + (0 – 0)·j + (0 – 0)·k = -2·i.
AC = C – A = (1 – 1)·i + (1 – 0)·j + (0 – 0)·k = j.
AD = D – A = (2 – 1)·i + (1 – 0)·j + (1 – 0)·k = i + j + k.
2. Вычислим векторное произведение AB и AC:
AB × AC = (-2·i) × j = (0 – 0)·i – (-2·0)·j + (-2·1)·k = -2·k.
3. Вычислим скалярное произведение полученного вектора и AD:
(AB × AC) · AD = (-2·k) · (i + j + k) = -2·1 = -2.
4. Подставим полученные значения в формулу для объема пирамиды:
V = (1/6) * |-2| = (1/6) * 2 = 1/3.
Таким образом, объем пирамиды SABC составляет 1/3.
Чтобы найти площадь грани ABC, мы можем использовать формулу для площади треугольника, которая равна половине модуля векторного произведения двух его сторон: S = (1/2) * |AB × AC|.
1. У нас уже есть векторы AB и AC, найденные ранее.
2. Найдем векторное произведение AB и AC:
AB × AC = (-2·i) × j = (0 – 0)·i – (-2·0)·j + (-2·1)·k = -2·k.
3. Подставим полученное значение в формулу для площади треугольника:
S = (1/2) * |-2| = (1/2) * 2 = 1.
Таким образом, площадь грани ABC составляет 1.