Назовем точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD как точку O. Поскольку AC = BD и точки K, M, F и P являются серединами соответствующих сторон, то KM = MF = FP = PK.
Обозначим длину стороны AB как a. Тогда KM = a/2. Поскольку KMFP является выпуклым четырехугольником, его периметр можно выразить как сумму длин его сторон:
40 = KM + MF + FP + PK
40 = a/2 + a/2 + a/2 + a/2
40 = 2a
Таким образом, a = 20 см.
Также известно, что AC = BD. Поскольку K, M, F и P являются серединами соответствующих сторон, то KMFP является параллелограммом. Из свойств параллелограмма, диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, то есть AO = OC и BO = OD.
Теперь мы можем разделить четырехугольник ABCD на два треугольника: треугольник AOC и треугольник BOD. Поскольку AO = OC и BO = OD, оба треугольника равнобедренные.
Теперь обратимся к треугольнику AOC. Так как AO = OC, то треугольник AOC – это равнобедренный прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:
AC^2 = AO^2 + OC^2
AC^2 = a^2 + (a/2)^2
AC^2 = a^2 + (a^2/4)
AC^2 = (4a^2 + a^2)/4
AC^2 = 5a^2/4
AC = sqrt(5/4) * a
AC = sqrt(5/4) * 20
AC = sqrt(5) * 2 * 10
AC = 2 * sqrt(5) * 10
AC = 20 * sqrt(5) см
Таким образом, диагональ AC равна 20 * sqrt(5) см, аналогично докажем, что и диагональ BD равна 20 * sqrt(5) см.