Дано, что угол A равен 90 градусов. Значит, сторона AD — ось вращения. Также даны значения сторон CD и BC: CD = 4 см и BC = 3 см. Так как трапеция не является равнобедренной, центр масс находится на отрезке AD, но не в его середине.
Чтобы найти площадь поверхности, образуемой вращением трапеции вокруг стороны AD, используем формулу Паппа. Сначала найдем высоту трапеции.
Так как угол B равен 45 градусов, то треугольник BCD — прямоугольный. Из него можно найти высоту трапеции, проведя перпендикуляр к основанию BC, из точки B до продолжения стороны AD. Найдем высоту треугольника BCD, это будет половина стороны CD, то есть h = 4/2 = 2 см.
Найдем боковые стороны трапеции. Из прямоугольного треугольника BCD найдем BC⋅cos(B), это будет нижняя основание трапеции: BC⋅cos(B) = 3 см⋅cos(45°) = 3 см⋅0.707 ≈ 2.12 см. Нижняя основание трапеции равно 2.12 см.
Теперь, используя формулу Паппа для площади поверхности вращения S, будем иметь нашу формулу S = 2π⋅R⋅P, где R — радиус окружности, получаемой вращением, а P — периметр проекции фигуры на плоскость, перпендикулярную оси вращения.
Радиус R — это расстояние от центра масс фигуры до оси вращения. Так как трапеция не является равнобедренной, расстояние от центра масс до оси вращения будет равно продолжению высоты треугольника до оси AD. Таким образом, R = 2 + h = 2 + 2 = 4 см.
Периметр проекции P — это сумма всех сторон трапеции, кроме стороны AD: P = AB + BC + CD = 2 + 3 + 4 = 9 см.
Подставим значения в формулу Паппа и посчитаем площадь поверхности S = 2π⋅4⋅9 = 72π см².
Таким образом, площадь поверхности, образуемой вращением данной трапеции вокруг стороны AD, равна 72π квадратных сантиметра.