Чтобы доказать, что плоскости BAD и CAD перпендикулярны, мы можем использовать свойство ортогональности двух плоскостей, которое заключается в том, что вектор нормали к одной плоскости будет перпендикулярен вектору нормали к другой плоскости.
Допустим, что точка D является основанием высоты, опущенной из вершины A на сторону BC треугольника ABC. Так как BD перпендикулярно DC, то треугольники ABD и ACD будут подобны, поскольку соответствующие углы в этих треугольниках равны и прямые углы.
Так как треугольники ABD и ACD подобны, отношение сторон этих треугольников будет одинаковым. Таким образом, отношение AB/AC будет равно BD/DC.
Определим векторы AB и AC как векторы, идущие от вершины A треугольника ABC до точек B и C соответственно. Также определим векторы BD и DC как векторы, идущие от точки D до точек B и C соответственно.
Так как отношение AB/AC равно BD/DC, это означает, что вектор AB и вектор BD (или вектор AC и вектор DC) пропорциональны. Это означает, что вектор AB (или AC) лежит в плоскости BAD (или CAD), так как вектор BD (или DC) лежит в этой плоскости.
Таким образом, векторы AB и AC лежат в плоскости BAD и CAD соответственно. Из свойства ортогональности плоскостей следует, что вектор нормали к плоскости BAD будет перпендикулярен вектору нормали к плоскости CAD, и наоборот.
Следовательно, плоскости BAD и CAD перпендикулярны друг другу.