Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов.
1. Найдем длину стороны ВС.
Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника АВС:
АС^2 = АВ^2 + ВС^2 – 2 * АВ * ВС * cos(∠А) (1)
Подставляем известные значения:
4^2 = 1^2 + ВС^2 – 2 * 1 * ВС * cos(45°)
16 = 1 + ВС^2 – 2ВС * cos(45°)
ВС^2 – 2ВС * cos(45°) – 15 = 0
2. Решим получившееся квадратное уравнение и найдем длину стороны ВС.
Для решения этого уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта:
D = b^2 – 4ac
Получаем:
D = (-2 * cos(45°))^2 – 4 * 1 * (-15)
= 4 * (cos(45°))^2 + 60
Так как cos(45°) = √(2)/2, подставляем это значение:
D = 4 * (√(2)/2)^2 + 60
= 4 * 1/2 + 60
= 2 + 60
= 62
Дискриминант D равен 62.
Далее используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
x1,2 = (-b ± √D)/(2a)
В нашем случае a = 1, b = -2 * cos(45°) и c = -15.
Найдем корни:
ВС1,2 = (-(-2 * cos(45°)) ± √62) / (2 * 1)
= (2√(2)/2 ± √62) / 2
= (√2 ± √62) / 2
3. Выберем положительное значение ВС:
ВС = (√2 + √62) / 2 ≈ 4.20 см
4. Теперь, когда известны все стороны треугольника, чтобы найти значение угла ∠В, воспользуемся теоремой синусов:
sin(∠В) / ВС = sin(∠А) / АВ
Подставляем известные значения:
sin(∠В) / 4.2 = sin(45°) / 1
Переносим sin(∠В) влево:
sin(∠В) = 4.2 * sin(45°) / 1
Вычисляем значение:
sin(∠В) ≈ 4.2 * 0.707 ≈ 2.97
Теперь найдем угол ∠В, применяя обратную функцию синуса:
∠В = arcsin(2.97)